Intégrale d'une fonction bornée
Définition
Soit 
une fonction réelle de la variable bornée sur 
. Il existe des fonctions en escalier majorant sur , par exemple 
, 
désignant un majorant de . De même, il existe des fonctions en escalier minorant sur .
Définition : (Fonction bornée intégrable)
Soit une fonction bornée sur , on dit que est intégrable au sens de Riemann si et seulement si il existe deux fonctions en escalier
et
telles que pour tout 
on ait
et dont les intégrales sont arbitrairement voisines.
Autrement dit :
L'ensemble des réels de la forme 
où 
et 
sur admet une borne supérieure. De même l'ensemble des réels de la forme 
où 
et 
sur 
admet une borne inférieure.
Si est intégrable au sens de Riemann, ces deux bornes sont égales à un réel qui s'appelle intégrale de sur
que l'on note 
Remarque :
Si est une fonction en escalier on retrouve, bien sûr, la définition 2.1.2
Interprétation graphique
L'aire comprise entre les représentations de et est aussi proche de
qu'on le veut :
Continuité et intégrabilité
Fondamental : Théorème
Toute fonction continue sur est intégrable au sens de Riemann sur
Propriétés fondamentales
et 
sont deux fonctions intégrables sur , on a :
Si
est positive sur , alors 
Si
sur , alors 
Relation de Chasles
Si
alors est intégrable sur 
et 
et :
Par convention, on pose :
La relation de Chasles est alors valable pour
De plus, on démontre que,
, 
, 
étant trois réels tels que 
, si est une fonction intégrable au sens de Riemann sur et sur alors est intégrable sur et la relation de Chasles est vérifiée.On tire de cette propriété le théorème suivant qui complète le théorème sur la continuité et l'intégrabilité. Il est très important car il ouvre un champ considérable de fonctions intégrables.
Continuité par morceaux et intégrabilité
Fondamental :
Toute fonction continue par morceaux sur est intégrable sur
Remarque : Interprétation géométrique de l'intégrale
Il vient immédiatement de la définition que l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur l'intervalle est représentée par l'aire algébrique délimitée par la courbe et l'axe des abscisses :
Inégalités et intégration
Fondamental :
Si une fonction est intégrable sur alors 
est intégrable sur et :
Attention :
Ce théorème doit être utilisé dans le bon sens : prenons, par exemple, la fonction définie par :
est intégrable sur 
mais
ne l'est pas
Fondamental : Inégalité de Schwartz
Soient et deux fonctions intégrables sur alors 
est intégrable sur et :
Nous admettons que est intégrable. Soit 
on a :
Donc :
Or, si 
,
, donc le trinôme en 
qui constitue le deuxième membre de l'égalité précédente doit être positif quelque soit , son discriminant doit donc être négatif ou nul, ce qui équivaut à :
Si 
alors 
et l'inégalité est vérifiée.
D'où le résultat.
