Exemples
Exemple :
Soit 
l'endomorphisme dans 
, de matrice 
. Son polynôme caractéristique, 
, n'est pas scindé dans 
et n'est donc pas diagonalisable dans le -espace vectoriel .
Par contre, 
est scindé sur 
, et possède trois racines simples (
, et 
) et on peut donc dire que est diagonalisable dans le -espace vectoriel 
(qui contient ). Cependant, pour mettre sous forme diagonale dans , il faut utiliser un changement de base à coefficients dans et non dans .
Exemple :
Soit l'endomorphisme dans 
de matrice 
. Son polynôme caractéristique est 
, qui est bien scindé dans , et le sous-espace propre associé est
.
Comme il n'y a pas d'autre vecteur propre linéairement indépendant de celui-ci qui soit associé à la valeur propre 1, le sous-espace propre 
n'est que de dimension 1 et la condition 2 n'est pas vérifiée. En conclusion 
n'est pas diagonalisable dans .
Pour les même raisons, il ne le serait pas non plus dans 
.
Remarque :
Pour savoir si un endomorphisme est diagonalisable, il suffit de déterminer ses valeurs propres, leur multiplicité, et le rang de 
pour chaque valeur propre.
Exemple :
Soit 
, et . 
si 
, et 2 si 
. Que conclure?
Réponse
1 est valeur propre double de 
, donc pour que soit diagonalisable, il faut que la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre 1 soit 2.
D'après le théorème du rang, il faut donc que 
, ce qui n'est réalisé que pour . De plus, la valeur propre 3 étant simple, la dimension de son espace propre est obligatoirement 1 (en effet : 
= multiplicité de la valeur propre 3).
En conclusion : si , est diagonalisable, sinon elle ne l'est pas.
