Endomorphisme diagonalisable
Définition :
Soit 
un 
-espace vectoriel de dimension finie, et soit 
un endomorphisme de . On dit que est DIAGONALISABLE si et seulement si il existe une base de dans laquelle la matrice de est diagonale.
Exemple :
On a pu précédemment vérifier que l'endomorphisme associé à la matrice 
est diagonalisable dans 
.
Fondamental : Théorème
Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme de est diagonalisable si et seulement si il existe une base de formée de vecteurs propres de .
Fondamental : Théorème
Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme de est diagonalisable si et seulement si est somme directe d'espaces propres de .
On a aussi :
Fondamental : Propriété
Soit un -espace vectoriel de dimension 
. Si 
, sont les 
valeurs propres distinctes d'un endomorphisme de , alors est diagonalisable dans si et seulement si
ou encore 
.
Fondamental : Théorème fondamental
Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme de est diagonalisable si et seulement si il vérifie les deux conditions suivantes :
son polynôme caractéristique
est scindé dans le corps de référence (c'est à dire que est factorisable en facteurs du 
degré à coefficients dans )pour chaque valeur propre
de multiplicité 
, on a 
.
Remarque :
Dans
, la condition 1 est automatiquement vérifiée.Si
est diagonalisable, la restriction de à chacun de ses sous espaces propres est soit l'application nulle, si la valeur propre correspondante est nulle, soit une homothétie de rapport égal à la valeur propre correspondante.Un cas particulier important car assez fréquent est le suivant : Soit
un -espace vectoriel de dimension . Si un endomorphisme de a valeurs propres distinctes chacune de multiplicité 1 alors cet endomorphisme est diagonalisable.
