La dilatation thermique
Définition : Dilatation thermique (1)
La dilatation thermique est l'expansion à pression constante du volume d'un corps occasionnée par une variation de température.
Fondamental : Mise en place de l'expression du coefficient de dilatation thermique
On suppose que toute variation de \(T\) se fait à \(P\) constant.
Il existe une fonction \(U\) différentiable, traduisant l'énergie interne du système, telle que
\(U : (T,V,P) \longmapsto U(T,V,P)\)
et telle que
\(dU(T,V,P)=(\partial_TU(T,V,P))_V \times dT+(\partial_VU(T,V,P))_T \times dV\).
De plus, comme la variation de température se fait à pression constante, il vient
\((\partial_TU(T,V,P))_P=(\partial_TU(T,V,P))_V + (\partial_VU(T,V,P))_T \times (\partial_TV(T,P))_P\)
soit
\((\partial_TU(T,V,P))_P=C_V(T) + \beta \times V(T,P) (\partial_VU(T,V,P))_T\).
Il vient donc \(\beta\), le coefficient de dilatation thermique, s'exprimant ainsi : \(\beta=\frac{1}{V(T,P)} (\partial_TV(T,P))_P\).
Remarque : Propriétés et structure du coefficient de dilatation thermique
Il traduit effectivement une variation de volume suite à un changement de température isobare, et il s'exprime en \(K^{-1}\) ou en \(^\circ C^{-1}\).
De plus,
\(\beta = \frac{1}{V(T_0,P_0)} \times \partial_TV(T_0,P_0)\)
\(\beta = \frac{1}{V(T_0,P_0)} \times \lim\limits_{T \to T_0}\frac{V(T,P_0)-V(T_0,P_0)}{T-T_0}\)
\(\beta = \lim\limits_{T \to T_0}\frac{1}{T-T_0} \times \frac{V(T,P_0)-V(T_0,P_0)}{V(T_0,P_0)}\)
On remarque en conséquence que \(\beta\) a la structure d'une erreur relative sur le volume, divisée par une variation de température.
Conclusion : mesurer le coefficient de dilatation thermique d'un matériau, c'est mesurer une erreur sur le volume suite à un changement de température.
Remarque : "Le paradoxe de l'eau"
L'eau liquide, si elle est portée à une température comprise entre \(0^\circ C\) et \(4^\circ C\), possède un coefficient de dilatation thermique négatif.
\(\partial_TV(T,P)<0\), cela induit que quelque soit \(P\), la fonction \(T \longmapsto V(T,P)\) décroît, donc que l'eau se contracte en cas d'échauffement.
Fondamental : Dilatation thermique (2)
Considérons un corps liquide.
Rappelons que :
\(\beta = \lim\limits_{T \to T_0}\frac{1}{T-T_0} \times \frac{V(T,P_0)-V(T_0,P_0)}{V(T_0,P_0)}\).
En pratique, au lieu d'utiliser la notion de limite, on va plutôt considérer que \(T\) est différent de \(T_0\) et qu'il est dans un voisinage "pas trop grand" de ce dernier. Il en résulte la formule suivante : si \(V_0\) est le volume initial du corps et s'il subit une variation de température \(\Delta T\), alors
\(\beta = \frac{1}{\Delta T} \times \frac{\Delta V}{V_0}\).
Conclusion, si la variation de température n'est pas trop grande, alors sa dilatation thermique volumique s'exprime ainsi \(\Delta V = \beta V_0 \Delta T\).
Remarque : Lien avec la fresque (1)
Si l'on a définit et construit ce coefficient, c'est parce que la dilatation des océans est issue de l'augmentation de la température de l'eau et que l'on peut la mesurer.
Exemple : Lien avec la fresque (2)
Considérons un cube d'eau à \(10^\circ C\) soumis à la pression standard \(P^0\) et de dimensions \(500m \times 500m \times 500m\).
Ainsi \(V_0=1.25 \times 10^8 m^3\).
Le système subit un échauffement de \(3^\circ C\).
D'après les tables, \(\beta = 1.5 \times 10^{-4\text{ }\circ}C^{-1}\).
Conclusion, le système subit une variation de volume de \(\Delta V = \beta \times V_0 \times (3^\circ C) = 5.6 \times 10^4 m^3\).