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Quelle est la réponse impulsionnelle associée à un filtre causal vérifiant l'équation de récurrence
La fonction de transfert associée à cette équation de récurrence est (voir "question 2" ) :
Méthode 1 :
On observe que :
donc :
Méthode 2 :
La région de convergence d'un système causal est de la forme
, où
est le maximum des modules des pôles de
. Etudions la fonction
pour différentes valeurs de
:Pour
, la fonction
est holomorphe sur
. On peut donc lui appliquer le théorème des résidus sur un domaine délimité par un contour entourant l'origine et contenu dans le domaine de convergence. On obtient alors, d'après la formule d'inversion de la TZ 
Pour
, la fonction
possède un seul pôle
et il est d'ordre
. Donc,
Pour
, la fonction
possède un seul pôle
et il est d'ordre
. Donc,
Puisque le système est causal, on a
pour
. On retrouve donc le résultat
