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Soit la fonction définie par
res
Les pôles de sont (pôle d'ordre ) et (pôle d'ordre ), ou . On notera que est un pôle d'ordre car :
et
et holomorphe sur donc sur un disque centré en .
Résidu de en :
Donc :
Méthode 1 :
Or :
En posant , on obtient :
et :
donc :
Puisque , on obtient :
soit :
Méthode 2 :
Recherchons le développement de Laurent de au voisinage de .
En posant dans
on est ramené à chercher le développement de Laurent de au voisinage de avec :
Et :
Sachant que :
on obtient :
Alors :
D’où: