Primitives et calcul intégral
Intégrale sur un segment
Fondamental : Propriété
Toute primitive d'une fonction continue sur
s'écrit sous la forme
où est une constante réelle.
Si est une primitive de
alors
Remarque :
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
En effet, si est une autre primitive de
, on a :
.
Et donc :
Remarque :
Dans les calculs il est commode d'utiliser l'écriture :
Remarque :
Le choix de la variable d'intégration ne modifie pas le résultat : . On dit que la variable d'intégration est muette, on peut remplacer
par n'importe quelle autre lettre (sauf les bornes
ou
).
Exemple :
Calculer et
On a :
donc
et donc
On a :
donc
Intégrale indéfinie
Définition : Intégrale indéfinie
On désigne l'ensemble des primitives de par le symbole
qui se lit "somme de " et qui est appelée intégrale indéfinie.
Les propriétés de la dérivation de la composée de deux fonctions dérivables nous permettent de donner les propriétés suivantes :
Si
ne s'annule pas,
Si
ne s'annule pas lorsque
et si
est strictement positif lorsque
n'est pas entier