Existence et unicité de IR
Nous admettrons l'existence et l'unicité d'un ensemble
, dont les éléments sont appelés les nombres réels, et qui est muni de deux lois internes 
et 
, et d'une relation 
, tel que
est un corps commutatif- est une relation d'ordre total dans
Toute partie non vide et majorée de
admet une borne supérieure
Définition : Ensemble borné
Soit 
un sous ensemble de . On dit que est borné si et seulement si est majorée et minorée
Définition : Plus grand élément, plus petit élément
Soit 
On dit que
admet un plus grand élément
si et seulement si :
, et est un majorant de
On note
On dit que
admet un plus petit élément
si et seulement si :
, et est un minorant de
On note
Définition : Borne supérieure, borne inférieure
soit
On appelle borne supérieure le plus petit des majorants de
dans , s'il existe. On le note 
On appelle borne inférieure le plus grand des minorants de
dans , s'il existe. On le note 
Définition : Intervalle de IR
Soient 
deux réels tels que 
On appelle intervalle fermé de
d'extrémité 
et 
l'ensemble notée 
des 
tels que 
.On appelle intervalle ouvert de
d'extrémité et l'ensemble noté 
des tels que 
. On appelle intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de
d'extrémité et l'ensemble noté 
des tels que 
.On appelle intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de
d'extémité et l'ensemble noté 
des tels que 
.On appelle intervalle semi-ouvert un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite ou un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite.
Définition : Voisinage d'un point
Soit
. On appelle voisinage de tout sous ensemble 
de qui contient un intervalle ouvert contenant :
Soit
. On appelle voisinage de tout sous ensemble de 
qui contient un sous ensemble du type 
où 
,
,
,
sont 4 réels strictement positifs.Soit
. On appelle voisinage de tout sous ensemble de 
qui contient un sous ensemble du type
où 
sont des réels strictement positifs.
Remarque :
Dire que est un voisinage du point signifie en fait que les points les "plus proches'' de sont dans .
Exemple :
Nous donnons ci-dessous deux exemples correspondant aux deux premiers cas de la définition
est un voisinage de 2,1. Il suffit en effet de prendre 
et 
. n'est pas un voisinage de 5 car si 
nous avons toujours 
.L'ensemble
représenté ci-dessous est un voisinage du point 
.
