Dérivée, variations et signe
La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, c'est une bijection de 
sur 
. (Dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation : 
.)
La fonction ln est dérivable sur .
La fonction 
définie par 
est donc dérivable sur .
Pour tout 
, on peut écrire :
(ln' désigne la fonction dérivée de la fonction ln)
Or 
et donc 
.
Il vient : 
et donc 
Enfin : 
Fondamental : Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur et :
Or , donc 
.
La fonction ln est donc une bijection strictement croissante de sur 
, on en déduit le théorème :
Fondamental : Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur .
Pour tous réels 
et 
strictement positifs :
En particulier on en déduit :
