Image et noyau d'une application
Image et noyau d'une application
Soit 
l'application définie par :
Question
Montrer que est linéaire.
Montrons que est linéaire. Quels que soient deux vecteurs 
et 
de 
, et quel que soit le réel 
, on a :
Par conséquent,
est donc une application linéaire.
Question
Trouver une base de 
et de 
.
Cherchons
:
ainsi
en remarquant que la somme de ces trois vecteurs est nulle, on déduit que cette famille est liée et qu'une base de est:
(Ces deux vecteurs sont indépendants).
- est l'ensemble des vecteurs ayant pour image
par :
d'où
Question
Déterminer le réel 
tel que 
( fois), soit colinéaire à .
Calculons les différentes puissances de .
Ainsi :
Question
Simplifier 
.
Avec la question précédente, on a :
.
Question
Retrouver ce qui précède en utilisant une matrice.
Matriciellement, la matrice de est :
on a :
