1.4 Représentation lagrangienne pour le mouvement 1D
Définition :
Étant donné un champ \(\rho(x,t)\), on peut alors définir le champ \(\rho^{(L)}(a,t)\) par la relation
\[\rho^{(L)}(a,t) = \rho_{{\cal L}_a}(t) = \rho\left[X(a,t), t\right]\;. \] |
On voit que \(\rho(x,t)\) peut être considéré comme la représentation eulérienne du champ \(\rho\) et \(\rho^{(L)}(a,t)\) comme sa représentation lagrangienne pour le mouvement unidimensionnel \(X(a,t)\).
La quantité \(\left( \frac{d\,\rho }{dt}\right)_{\cal L}\) peut être vue comme la dérivée particulaire du champ \(\rho\) pour le mouvement \(X(a,t).\)
Représentations eulérienne \(\rho(x,t)\) et lagrangienne \(\rho^{(L)}(a,t)\) du champ \(\rho\) pour le mouvement \(X(a,t)\) et le mouvement inverse \(A(x,t).\)
Réciproquement, si l'on connait la représentation lagrangienne \(\rho^{(L)}(a,t)\) pour le mouvement 1D, c'est-à-dire \(\rho_{{\cal L}_a}(t)\) pour toutes les courbes \({\cal L}_a,\) on peut retrouver la représentation eulérienne \(\rho(x,t)\) du champ \(\rho\) grâce au mouvement inverse \(A(x,t)\). En effet, on peut écrire
\[\rho(x,t) = \rho^{(L)}\left[A(x,t),t\right]\;.\] |