1.1 Courbe à vitesse bornée
On considère une courbe \({\cal L}\) de longueur finie ou infinie dans le plan \((x,t).\) On dit que c'est une courbe "à vitesse bornée" si on peut la décrire par une fonction dérivable \(x=x_{{\cal L}}(t)\) où \(t\) appartient à un intervalle fini ou infini.
Définition :
On appelle "vitesse'' la dérivée de la fonction \(x_{{\cal L}}(t)\) par rapport à la variable \(t,\) que l'on nomme variable temps, et on note cette vitesse :
\[\left( \frac{d\, x}{dt}\right)_{\cal L} (t) = \dot x_{{\cal L}}(t) \qquad \hbox{ou encore}\qquad c_{{\cal L}}(t) = \dot x_{{\cal L}}(t) \;. \] |
Dans un plan \((x,t)\) où \(x\) est sur l'axe des abscisses et \(t\) sur l'axe des ordonnées, la vitesse est l'inverse de la pente de la courbe \({\cal L}\) lorsque l'on visualise localement la courbe \({\cal L}\) comme un morceau de fonction exprimant \(t\) (en ordonnée) en fonction de \(x\) (en abscisse). Tant que la vitesse reste bornée, cette pente ne s'annule pas. On peut donc associer une seule valeur de \(x\) à une valeur de \(t\) donnée.
Exemple :
Exemple : la courbe définie par \(x +v \, t - \gamma \, t^2=0\) est à vitesse bornée. La courbe définie par \(\nu t + x^2 =0\) à une vitesse infinie pour \(x=t=0.\) La courbe définie par \(t=0\) à une vitesse infinie pour tout \(x.\)