Applications
Exercice 1
Enoncé
Un cube métallique d'arête a = 10 cm se trouve initialement à une température homogène θb = 40 °C. A l'instant t = 0, on plonge ce cube dans un liquide dont on maintient la température à la valeur constante de 100 °C. Sachant que le coefficient superficiel d'échange entre le liquide et la surface du cube est h = 1200 kcal.h-1.m-2.°C-1, on demande de calculer la température en son centre au bout de 216 secondes. Données : Conductivité thermique du métal : λ = 60 kcal.h-1.m-1.°C-1 Diffusivité thermique du métal : α = 0,05 m2.h-1 |
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Solution
Il s'agit d'étudier la propagation de la chaleur dans plusieurs directions en régime transitoire. Pour cela, on va travailler par la méthode de Newman. On est dans le cas d'un cube, donc les trois épaisseurs sont identiques, d'où Yx = Yy = Yz. Calcul de
Calcul de n : n = x / (e/2) = 0 Calcul de m : m = λ / (rm.h) = 60 / (0,05 . 1200) = 1 A partir de ces données, on peut calculer Yx = Yy = Yz (abaque pour une plaque) : Yi = 0,5 Soit : (θ - θa)/(θb - θa) = 0,053 = 0,125 avec θa = 100 °C et θb = 40 °C D'où θ = 92,5 °C |
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Exercice 2
Enoncé
Une sphère de 20 cm de rayon est initialement à une température de 20 °C. Sa surface est portée à 100 °C. Calculer la température du centre de la sphère après 6 minutes. Données : λ= 320 kcal.h-1.m-1.°C-1 ρ = 8000 kg/m-3 Cp = 0,4 kcal.kg-1.°C-1 |
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Solution
Calcul de
Calcul de m et n : m = 0 et n = 0 A partir de ces données, on peut calculer Y (abaque pour une sphère) : Y = 0,25 Soit : (θ - θa)/(θb - θa) = 0,25 = 0,125 avec θa = 100 °C et θb = 20 °C D'où θ = 80 °C |
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Exercice 3
Enoncé
On chauffe du sable sec en le faisant couler régulièrement dans un tube vertical de 30 cm de diamètre intérieur dont la paroi extérieure est chauffée par de la vapeur. Le sable sera assimilé à un milieu continu s'écoulant à un débit constant et uniforme de 10 cm3/s. On suppose que la résistance thermique superficielle entre le sable et la surface interne du tube est négligeable et que la température θp de cette surface reste constante tout le long du tube et égale à 110 °C. Sachant que le sable pénètre dans le tube à une température uniforme θ0 = 30 °C, on demande de calculer la longueur du tube pour que toutes les particules de sable sortent à une température au moins égale à 90 °C. Données sur la couche de sable : λ= 0,3 kcal.h-1.m-1.°C-1 ρ = 600 kg/m-3 Cp = 0,25 kcal.kg-1.°C-1 |
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Solution
Les particules sortent toutes à 90 °C si celles de l'axe sortent à cette température. Calcul de Y : (θ - θa)/(θb - θa) = (90 - 110)/(30 - 110) = 0,25 Calcul de m et n : m = 0 car la résistance thermique superficielle sable / surface interne est négligeable et n = 0 car r = 0 A partir l'abaque pour un cylindre, on a t = 0,35 Soit : t = ( Avec α= λ / (ρ.Cp) = 0,3 / (600 . 0,25) = 0,002 et R = 15.10-2 m D'où t = 3,938 h La vitesse du sable est égale à : v = débit/section = (10.10-6 . 3600) / (π . (15.10-2)2) = 0,509 m/h La longueur du tube est alors : L = v.t = 0,509 . 3,938 = 2 m |
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