densité de porteurs en excès dans le volume de la diode

L'équation différentielle à résoudre est : $\frac{d^{2} \hat{p}}{{dx}^{2}} - \frac{\hat{p}}{L_{p}} = 0$ ,

La solution est de la forme : $\hat{p} (x) = A \exp (- \frac{x}{L_{p}}) + B \exp (\frac{x}{L_{p}})$ .

\begin{matrix} \begin{matrix} en x = 0 : \hat{p} = {\hat{p}}_{0} \\ en x = W_{N} : \hat{p} (W_{N}) = 0 \end{matrix}} & \Rightarrow 0 = A \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}}) + B \exp (\frac{W_{N}}{L_{p}}) \Rightarrow {\hat{p}}_{0} = A + B . \end{matrix}

\Rightarrow 0 = {\hat{p}}_{0} \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}}) + B [\exp (\frac{W_{N}}{L_{p}}) - \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})] \Rightarrow B = - {\hat{p}}_{0} \frac{\exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})}{\exp (\frac{W_{N}}{L_{p}}) - \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})} .

et

A = {\hat{p}}_{0} [1 - \frac{\exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})}{\exp (\frac{W_{N}}{L_{p}}) - \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})}] = {\hat{p}}_{0} \frac{\exp (\frac{W_{N}}{L_{p}})}{\exp (\frac{W_{N}}{L_{p}}) - \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})} .

\hat{p} (x) = {\hat{p}}_{0} \frac{\exp (\frac{W_{N} - x}{L_{p}}) - \exp (- \frac{W_{N} - x}{L_{p}})}{\exp (\frac{W_{N}}{L_{p}}) - \exp (- \frac{W_{N}}{L_{p}})}

Comme $\exp (a) - \exp (- a) = 2 sh (a)$ , on peut écrire : $\hat{p} (x) = \hat{p_{0}} \frac{sh (\frac{W_{N} - x}{L_{p}})}{sh (\frac{W_{N}}{L_{p}})}$ .