On sait que n i 2 = N 2 . exp − ( E G kT ) n_{i} ^{2} = N^{2}.exp-( { E_{G}} over {kT} )
avec N 2 = 4 h 6 . ( 2 π mk ) 3 . T 3 N^{2}= {4} over { h^{6}} .(2 %pi mk)^{3}. T^{3}
soit n i 2 = 4 h 6 . ( 2 π mk ) 3 . T 3 . exp − ( E G kT ) = N 2 exp − ( E G kT ) n _{i} ^{2}= {4} over { h^{6}} .(2 %pi mk)^{ {3} }.T ^{3}. exp -{({E_{G}}over {kT})} = N^{2}exp-( { E_{G}} over {kT} )
La dérivation de cette équation donne :
δ n i 2 δ T = 3. 4 h 6 . ( 2 π mk ) 3 . T 3 . exp − ( E G kT ) + E G kT 2 . 4 h 6 . ( 2 π mk ) 3 . T 3 . exp − ( E G kT ) {%delta n _{i} ^{2}} over {%delta T} =3. {4} over { h^{6}} .(2 %pi mk)^{ {3} }.T ^{3}. exp -{({E_{G}}over {kT})} + {E_{G}}over {kT ^{2}}.{4} over { h^{6}} .(2 %pi mk)^{ {3} }.T ^{3}. exp -{({E_{G}}over {kT})}
On peut, dans cette équation, mettre ni2 en facteur : δ n i 2 δ T = ( 4 h 6 . ( 2 π mk ) 3 . T 3 . exp − ( E G kT ) ) ( 3 T + E G kT 2 ) {%delta n _{i} ^{2}} over {%delta T} =( {4} over { h^{6}} .(2 %pi mk)^{ {3} }.T ^{3}. exp -{({E_{G}}over {kT})} )( {3} over {T}+ {E_{G}}over {kT ^{2}})
Il suffit donc de diviser les deux termes par ni2 pour obtenir : 1 n i 2 . δ n i 2 δ T = 3 T + E G k T 2 {1} over n_{i} ^{2} . { %delta n_{i}^{2} } over {%delta T} = {3} over {T} + E_{G} over {k T^{2}}