Conduction dans les solides

Mise en équation du bilan thermique

Ecrivons la conservation de l'énergie thermique dans un élément de volume de solide quelconque V (figure 3) :

Figure 3

La chaleur entre dans l'élément et en sort par conduction.

On définit le vecteur normal unitaire orienté vers l'extérieur (figure 4). Alors :

Flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant = flux de chaleur à travers la surface =

.........................................................(équation 21)

est la densité de flux thermique

Figure 4

Remarque

Le signe moins est dû au fait que la normale est dirigée vers l'extérieur et que, par convention, tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement.

P est la puissance générée (au sens large) par unité de volume en J.s-1.m-3. Elle peut être générée dans l'élément par dégradation d'énergie électrique (effet joule), par fission ou comme le résultat d'une réaction chimique. Alors :

Flux de chaleur générée = ± ...................................(équation 22)

Il est compté positivement si il génère de l'énergie et négativement si il en consomme.

Si U représente l'énergie interne par unité de masse, on peut écrire :

Accumulation d'énergie interne : .......................(équation 23)

Dans le cas d'un solide, l'énergie interne par unité de masse U s'écrit :

...................................................................(équation 24)

Le bilan de conservation de l'énergie thermique devient alors :

± = .......................................................(équation 25)

En transformant l'intégrale de surface en intégrale de volume (théorème de GREEN-OSTROGRADSKI) et en revenant à l'élément différentiel, on écrit alors :

- div ± P = ρ Cp ...........................................................(équation 26)

ComplémentDémonstration du théorème de GREEN-OSTROGRADSKI

.

Dans l'équation générale que nous venons de démontrer, est la densité de flux thermique, par conduction dans le cas de solides, qui s'exprime par la loi de Fourier :

.........................................................................(équation 27)

Ces équations seront écrites dans les configurations géométriques habituelles, en utilisant les expressions des div et grad adaptées.

Dans le cas d'un système cartésien tridimensionnel (figure 5), les équations ci-dessus conduisent à :

± P - ρ Cp = 0................................(équation 28)

Figure 5
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AccueilAccueilImprimerImprimer Denis BARRETEAU et Nadine LE BOLAY, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 0206 (2013) 30h Paternité - Partage des Conditions Initiales à l'IdentiqueRéalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)